对角线AC、BD交于E，
根据余弦定理，cos<BAD=(AD^2+AB^2-BD^2)/(2*AD*AB)=-1/26,同理，cos<BCD=1/26,
∵cos(180°-<BCD)=-cos<BCD=-1/26=cos<BAD,
∴<BAD+<BCD=180°，
∴A、B、C、D四点共圆，
在△ACD和△ABC中，
根据余弦定理，
AC^2=AD^2+CD^2-2AD*CDcos<ADC=AB^2+BC^2-2AB*BC*cos<ABC,
∵〈ADC+〈ABC=180°，
∴cos<ABC=-cos<ADC,
169+169-2*13*13cos<ADC=49+64+2*7*8*cos<ADC,
cos<ADC=1/2,
∴<ADC=60°，
∵AD=CD，
∴△ADC是正△，
作出正△ADC外接圆，〈ECB=〈ADB，（同弧圆周角相等），
〈ABD=〈ACD=60°，（同弧圆周角相等），
〈DBC=〈DAC=60°，（同弧圆周角相等）
∴〈EBC=〈ABD=60°，
∴△ABD∽△EBC，
BC/BD=EC/AD，
8/15=OC/13，
∴EC=8*13/15=104/15，
CM=AC/2，（N是BD中点），
EM=EC-AC/2=104/15-13/2=13/30，
∵△ADE∽△BCE，（相交弦定理的证明方法），
∴BC/AD=EC/DE，
8/13=（104/15）/DE，
∴DE=169/15，
BE=BD-DE=15-169/15=56/15，
EN=ED-BD/2=169/15-15/2=113/30，
∵△ABC∽△DEC，（前已证），
∴〈BEC=〈BAD，∴cos<BEC=cos<BAD=-1/26,
∵〈DEC=180°-〈BEC，
∴cos<DEC=1/26,(cos<MEN)
sin<DEC=√[1-(cos<MON)^2]=15√3/26，
在△MEN中，根据余弦定理，
MN=√57/2，
∵〈ABC=〈OBD=120°，
〈ADB=〈ACB，（同弧圆周角相等），
∴△ABC∽OBD，
OD/AC=BD/BC，
OD/13=15/8，
OD=195/8，
OA=OD-AD=195/8-13=91/8，
∵〈ABO=〈ODC，（圆内接四边形外角等于内对角），
〈AOB=〈COD，
∴△OAB∽△OCD，
∴AB/CD=OB/OD，
7/13=OB/（195/8），
∴OB=105/8，
OC=OB+BC=169/8,
设O至MN距离为OH,
连结ON、OM，
在△ODB中，根据中线定理，
ON^2=(OD^2+OB^2-BD^2/2)/2=(195^2/64+105^2/64-15^2/2)/2=20925/64=326.9531,
在△OAC中，根据中线定理，
OM^2=(OA^2+OC^2-AC^2/2)/2=(91^2/64+169^2/64-13^2/2)/2=15717/64=245.578
根据勾股定理，
ON^2-(MN+MH)^2=OH^2=OM^2-MH^2,
ON^2-OM^2=(MN+2MH)*MN,
MH=8.8909,
OH=√（OM^2-MH^2)=12.9046,
∴O到MN的距离约为12.9046.
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希望本篇文章《一道初中竞赛几何题》能对你有所帮助！
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